La realidad es que los movimientos oscilatorios, por cuestiones varias -rozamiento, histéresis, etc…-, tienden a amortiguarse. Es decir, el movimiento oscilatorio tiende a ir deteniéndose progresivamente a lo largo del tiempo. Tal efecto se lo denomina amortiguamiento. Si bien puede tomar expresiones distintas, el convenio general es que el amortiguamiento es una fuerza proporcional a la velocidad del sistema, y a la constante de proporcionalidad que rige tal fuerza se la denomina coeficiente de amortiguamiento, convencionalmente notado como c.

Así, al anterior juego de fuerzas del sistema oscilatorio libre habremos de añadirle una nueva dependiente del amoriguamiento. Tomando la misma ménsula que en el caso anterior, obtenemos:

y ahora el equilibrio se expresará como:

dado que

Introduciendo las anteriores expresiones en (1) obtenemos:

La anterior ecuación se satisface si A=0, que es la solución trivial, para la que no hay oscilación alguna, esto es, el sistema se mantiene en reposo. Esta solución, como en el caso anterior, carece de interés para nuestro cometido. La solución no trivial es que la suma contenida en el paréntesis sea nula, que sí nos aportará datos acerca del comportamiento dinámico del sistema. Por tanto:

Los datos anteriores son conocidos, a excepción de r y, por ello, se trata de una ecuación de segundo grado en r, que tendrá dos soluciones:

En este caso, aparentemente, el sistema podría oscilar de dos maneras distintas, salvo que el discriminador de la anterior solución fuera nulo, en cuyo caso la solución de r sería única. Si efectivamente es así:

de donde, recordando que

Por tanto, la solución es única si el valor de c adopta el anterior valor Ccr, que se conoce como amortiguamiento crítico, denominación que se comprenderá más adelante. En consecuencia, si c=Ccr

quedando, por tanto, que la ley de desplazamientos es, al sustituir en (2):

Si tenemos en cuenta que el exponente es negativo, sucederá que con el paso del tiempo el desplazamiento disminuirá. Inicialmente, con t=0, u(0)=A, pero a partir de ese momento sucederá que u(t)<A. Efectivamente, el desplazamiento se amortigua y cada vez es de menor amplitud. Más aún, si representamos la función de la ecuación (4) y sus dos primeras derivadas -v y a-, obtenemos:

Fuente: Estructurando.